$$\begin{cases} y'(t) = f(t, y), \quad t \in [t_0, t_f] \\ y(t_0) = y_0 \end{cases} \quad (1)$$

Datos: $f = f(t, y) : [t_0, t_f] \times \mathbb{R}^M \to \mathbb{R}^M$ (caso banda), $y_0 \in \mathbb{R}^M$.

Hipótesis: $f$ continua en $(t, y)$ y localmente Lipschitz respecto a $y$ en $[t_0, t_f] \times \mathbb{R}^M$.

Solución diferencial: $\varphi \in C^1[t_0, t_f]$ tal que $\varphi'(t) = f(t, \varphi(t)), \forall t \in [t_0, t_f], \varphi(t_0) = y_0$.

Solución integral: $\varphi \in C[t_0, t_f]$ tal que $\varphi(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s, \varphi(s))\,ds$.

Existe una única solución local en tiempo $\varphi$.

O bien esta solución es global en todo el intervalo $[t_0, t_f]$, o bien $\exists t_* \le t_f$ tal que:

$$\limsup_{t \to t_*} |\varphi(t)| = +\infty$$

(Norma euclídea estándar en $\mathbb{R}^M$).

Notaciones: $\delta u_{n+1} = \frac{u_{n+1} - u_n}{h_n}$ (derivada temporal discreta). $h = \max_n h_n$ (diámetro de la partición temporal).

Esquema:

$$\begin{cases} \text{Inicialización:} \quad y_0 \\ \text{Paso } n+1: \quad \delta y_{n+1} = \Phi(t_n, y_n, h_n), \quad n = 0, \dots, N-1 \end{cases} \quad (2)$$

Datos: $y_0 \in \mathbb{R}^M$ y $\Phi = \Phi(t, y, h): [t_0, t_f] \times \mathbb{R}^M \times [0, h_{\max}] \to \mathbb{R}^M$ continua en $(t, y)$ y loc. Lipschitz en $y$.

Ejemplos de $\Phi$: Euler Explícito $\Phi = f(t_n, y_n)$, Taylor 2 Explícito, Heun, Runge, etc.

Error local de consistencia:

$$E_n(h) = \frac{\varphi(t_n + h_n) - \varphi(t_n)}{h_n} - \Phi(t_n, \varphi(t_n), h_n) \quad (3)$$

• $L^1$-consistencia: si $\|(E_n(h))_n\|_1 \to 0$ cuando $h \to 0$, donde $\|(E_n)_n\|_1 = \sum_{n=0}^{N(h)-1} h_n |E_n|$.
• Orden de $L^1$-consistencia $p > 0$: si $\|(E_n(h))_n\|_1 / h^p \to C$ cuando $h \to 0$, con $C > 0$.
• Orden de $L^1$-consistencia al menos $p > 0$: si $\exists h_*$ tal que $\|(E_n(h))_n\|_1 \le C h^p$ para todo $h \le h_*$.

Regularidad (Derivadas de Lie sucesivas):

$$\varphi'(t) = f(t, \varphi(t)), \quad \varphi''(t) = f^1(t, \varphi(t)) \text{ donde } f^1 = f_t + f_y f$$ $$\varphi'''(t) = f^2(t, \varphi(t)) \text{ donde } f^2 = f^1_t + f^1_y f, \quad \dots$$

Comportamiento de Taylor del error de consistencia centrado en $h=0$:

$$E_n(h_n) = a_0 + a_1 h_n + \frac{1}{2!} a_2 h_n^2 + \frac{1}{3!} a_3 h_n^3 + \dots$$ $$a_0 = f(t_n, \varphi(t_n)) - \Phi(t_n, \varphi(t_n), 0)$$ $$a_1 = \frac{1}{2} f^1(t_n, \varphi(t_n)) - \partial_h \Phi(t_n, \varphi(t_n), 0)$$ $$a_2 = \frac{1}{3} f^2(t_n, \varphi(t_n)) - \partial^2_{h^2} \Phi(t_n, \varphi(t_n), 0)$$ $$a_3 = \frac{1}{4} f^3(t_n, \varphi(t_n)) - \partial^3_{h^3} \Phi(t_n, \varphi(t_n), 0), \dots$$

• Si $f(t, y) = \Phi(t, y, 0) \implies$ el esquema (2) es consistente con orden al menos 1.
• Si además $\frac{1}{2} f^1(t, y) = \partial_h \Phi(t, y, 0) \implies$ el esquema es de orden al menos 2.
• Si además $\frac{1}{3} f^2(t, y) = \partial^2_{hh} \Phi(t, y, 0) \implies$ el esquema es de orden al menos 3.
• Si además $\frac{1}{4} f^3(t, y) \neq \partial^3_{h^3} \Phi(t, y, 0) \implies$ el esquema es de orden exactamente 3.

Considerando cualquier esquema perturbado:

$$\begin{cases} \text{Inicialización:} \quad z_0 = y_0 + \varepsilon \\ \text{Paso } n+1: \quad \delta z_{n+1} = \Phi(t_n, z_n, h_n) + \delta_n, \quad n = 0, \dots, N-1 \end{cases} \quad (4)$$

Error local de estabilidad: $s_n(h) = z_n - y_n$.

El esquema se dice $L^\infty$-estable si $\exists h_* \le h_{\max}$ y constantes $C_0, C_1 > 0$ tales que:

$$|s_n(h)| \le C_0 |s_0| + C_1 \sum_{m=0}^{n-1} h_m |\delta_m|, \quad \forall n, \quad \forall h \le h_*$$

(Donde $\delta_m$ representa el error de redondeo cometido en la etapa $m$).

1. (Gronwall Discreto Estándar): Si $\delta u_{n+1} \le a_n u_n + b_n$, entonces:

$$u_n \le \exp\left(\sum_{m=0}^{n-1} h_m a_m\right) u_0 + \sum_{m=0}^{n-1} \exp\left(\sum_{k=m+1}^{n-1} h_k a_k\right) h_m b_m$$

Sugerencia / Idea: Inducción usando la desigualdad $1 + x \le \exp(x)$ para todo $x \ge 0$.

2. (Gronwall Discreto Generalizado): Supongamos $\delta u_{n+1} \le a_n u_{n+1} + b_n u_n + c_n$.

Si se cumple la condición de paso $h_n a_n \le 1/2$, entonces:

$$\delta u_{n+1} \le 2(a_n + b_n) u_n + 2 c_n$$

Sugerencia / Idea: Reescribir la desigualdad como $(1 - h_n a_n)(u_{n+1} - u_n) \le h_n(a_n + b_n)u_n + h_n c_n$, dividir por $(1 - h_n a_n)$ y acotar $(1 - h_n a_n)^{-1} \le 2$ gracias a la hipótesis $h_n a_n \le 1/2$.

Si $\Phi(t, y, h)$ es globalmente Lipschitz en $y$ con constante $L$ (o el esquema está acotado), entonces el esquema (2) es $L^\infty$-estable. De hecho, se tiene:

$$|s_n(h)| \le \exp(L(t_n - t_0)) |s_0| + \sum_{m=0}^{n-1} \exp(L(t_n - t_{m+1})) h_m |\delta_m|, \quad \forall n$$

Error local de convergencia: $e_n(h) = \varphi(t_n) - y_n$.

• $L^\infty$-convergencia: si $\|(e_n(h))_n\|_\infty \to 0$ cuando $h \to 0$, donde $\|(e_n)_n\|_\infty = \max_{0 \le n \le N-1} |e_n|$.
• Orden de convergencia $p > 0$: si $\|(e_n(h))_n\|_\infty / h^p \to C$ cuando $h \to 0$, con $C > 0$.
• Orden al menos $p > 0$: si $\exists h_*$ tal que $\|(e_n(h))_n\|_\infty \le C h^p$ para todo $h \le h_*$.

Existen $h_* \le h_{\max}$ y constantes $C_0, C_1 > 0$ tales que:

$$|e_n(h)| \le C_0 |e_0| + C_1 \sum_{m=0}^{n-1} h_m |E_m|, \quad \forall n, \quad \forall h \le h_*$$

En particular, orden de $L^1$-consistencia $p > 0$ implica orden de $L^\infty$-convergencia $p > 0$.

Sugerencia / Idea: Comparar la definición de consistencia (3) con el esquema perturbado (4).

Si $\Phi(t, y, h)$ es globalmente Lipschitz en $y$ con constante $L$, el esquema (2) es $L^\infty$-convergente con la cota:

$$|e_n(h)| \le \exp(L(t_n - t_0)) |e_0| + \sum_{m=0}^{n-1} \exp(L(t_n - t_{m+1})) h_m |E_m|, \quad \forall n$$

1. Consistencia Euler Explícito: Probar orden 1 de dos formas (usando el Teorema 3 o directamente con fórmula de Taylor hacia adelante $\frac{F(v)-F(z)}{v-z} = F'(z) + \frac{1}{2}F''(z)(v-z) + O((v-z)^2)$).

2. Consistencia Euler Implícito: Probar orden 1 usando la aproximación hacia atrás (backward).

3. Consistencia de orden 2: Trapecios Explícito, Punto Medio Explícito y Taylor 2 Explícito de dos formas (vía aproximaciones centradas (7)-(8) del PDF).

4. Consistencia de orden 2: Trapecios Implícito, Punto Medio Implícito y Taylor 2 Implícito: $y_{n+1} = y_n + h_n(f(t_{n+1}, y_{n+1}) - \frac{1}{2}h_n f^1(t_{n+1}, y_{n+1}))$.

5. Consistencia Trapecios Implícito-BDF2: $y_{n+1/2} = y_n + \frac{h_n}{4}(f(t_n, y_n) + f(t_{n+1/2}, y_{n+1/2}))$, $3y_{n+1} - 4y_{n+1/2} + y_n = h_n f(t_{n+1}, y_{n+1})$.

6 al 10. Estabilidad y cotas de error: Euler Explícito ($O(h)$), Euler Implícito bajo $h_n L \le 1/2$, Trapecios y Punto Medio Explícito ($O(h^2)$), Trapecios y Punto Medio Implícito bajo $h_n L \le 1$, y Taylor 2 Explícito.

Dado el sistema no lineal asociado al esquema implícito:

$$F(y, h) = y - y_n - h f(t_{n+1}, y) = 0$$

Aplicando el Teorema de la Función Implícita (TFI):

• $F(y_n, 0) = y_n - y_n - 0 = 0$.
• $\partial_y F(y_n, 0) = I_d$ es una matriz $M \times M$ regular (invertible).

Por tanto, para todo paso $h$ en un entorno de 0, existe una única solución local $y = g(h)$ en un entorno de $y_n$ tal que $F(g(h), h) = 0$.

Convergencia Local: MAS es localmente convergente a una solución $y_{n+1}$ de $y = G(y)$ si:

$$h \cdot \rho(f_y(t_{n+1}, y_{n+1})) < 1$$

donde $\rho(A)$ es el radio espectral de la matriz Jacobiana.

Convergencia Global: MAS converge globalmente si $f$ es globalmente Lipschitz con constante $L$ bajo la hipótesis:

$$h L < 1$$

Iteración vectorial: $\nabla F(y^k)(y^{k+1} - y^k) = -F(y^k)$.

Convergencia Local: El método de Newton converge localmente a la solución $y_{n+1}$ si la matriz Jacobiana:

$$J_F = I_d - h f_y(t_{n+1}, y_{n+1}) \quad \text{es regular (invertible)}$$

Condición suficiente de invertibilidad:

$$h \cdot \rho(f_y(t_{n+1}, y_{n+1})) < 1$$

Caso disipativo especial: Si $f_y$ es definida negativa, entonces $I_d - h f_y$ tiene todos sus autovalores $> 1$ para todo $h > 0$, por lo que el método de Newton es incondicionalmente convergente para todo $h > 0$.

1. Trapecios y Punto Medio Implícito:

• Convergencia local de MAS para Trapecios Implícito: $h \cdot \rho(f_y(t_{n+1}, y_{n+1})) < 2$.
• Convergencia local de MAS para Punto Medio Implícito: $h \cdot \rho\left(f_y\left(t_{n+1/2}, \frac{y_n + y_{n+1}}{2}\right)\right) < 2$.
• Convergencia global de MAS bajo $f$ Lipschitz: $h L < 2$.
• Convergencia local de Newton: regularidad de $I_d - \frac{h}{2} f_y(t_{n+1}, y_{n+1})$ (Trapecios) o $I_d - \frac{h}{2} f_y\left(t_{n+1/2}, \frac{y_n + y_{n+1}}{2}\right)$ (Punto Medio).

2 y 3. Mismas propiedades analizadas para Taylor 2 Implícito y Trapecios-BDF2 Implícito.

Un sistema $y' = f(t, y) \in \mathbb{R}^M$ en $[t_0, +\infty)$ con $y(t_0)=y_0$ es disipativo si existe una función de energía $F = F(y) \in \mathbb{R}$ acotada inferiormente (por ejemplo por 0 sumando una constante adecuada) y coerciva ($F(y) \to +\infty$ si $|y| \to +\infty$), y una función disipativa $D = D(y) \ge 0$ tales que:

$$\frac{d}{dt} F(\varphi(t)) + D(\varphi(t)) = 0, \quad \forall t \ge 0$$

En particular, $\sup I(y_0) = +\infty$, existe el límite $\lim_{t \to +\infty} F(\varphi(t)) = F_\infty \ge 0$ y $\int_{t_0}^{+\infty} D(\varphi(t))\,dt = F(y_0) - F_\infty$. Finalmente, el conjunto $\omega(y_0)$-límite es no vacío y está contenido en los puntos con energía $F_\infty$: $\{y_* \in \mathbb{R}^M : F(y_*) = F_\infty\}$.

1. Caso continuo: Si $u'(t) + a(t)u(t) \le b(t)$, entonces:

$$u(t) \le u(t_0)\exp\left(-\int_{t_0}^t a(s)ds\right) + \int_{t_0}^t \exp\left(-\int_s^t a(r)dr\right) b(s)ds, \quad \forall t > 0$$

2. Discreto explícito: Si $\delta u_{n+1} + a_n u_n \le b_n$ con $h_n a_n \le 1$, entonces:

$$u_n \le u_0 \exp\left(-\sum_{m=0}^{n-1} h_m a_m\right) + \sum_{m=0}^{n-1} \exp\left(-\sum_{k=m+1}^{n-1} h_k a_k\right) h_m b_m$$

3. Discreto implícito: Si $\delta u_{n+1} + a_n u_{n+1} \le b_n$, y asumiendo $1 + h_n a_n \le K$ para todo $n$, entonces:

$$u_n \le u_0 \exp\left(-\frac{1}{K}\sum_{m=0}^{n-1} h_m a_m\right) + \sum_{m=0}^{n-1} \exp\left(-\frac{1}{K}\sum_{k=m+1}^{n-1} h_k a_k\right) h_m b_m$$

1. Si $(f(t, y), y) \le 0$: $|\varphi(t)|^2$ es no creciente en tiempo. $\sup I(y_0) = +\infty$, $|\varphi(t)| \le |y_0|$ para todo $t > 0$ (caso no expansivo), existe $\lim_{t \to +\infty} |\varphi(t)| = M \ge 0$, el conjunto $\omega(y_0)$-límite está contenido en $\{y_* : |y_*| = M\}$ y la solución constante $\varphi_*(t) = 0$ es localmente estable.

2. Si $(f(t, y) - f(t, z), y - z) \le -a(t)|y - z|^2$ con $a(t) \ge 0$:

$$|\varphi(t) - \psi(t)|^2 \le |y_0 - z_0|^2 \exp\left(-2\int_{t_0}^t a(s)ds\right), \quad \forall t > 0$$

(Estabilidad exponencial a tiempo infinito frente a variaciones del dato inicial).

1. Hacia adelante (forward): $(y_{n+1} - y_n, y_{n+1}) = \frac{1}{2}(|y_{n+1}|^2 - |y_n|^2) + \frac{1}{2}|y_{n+1} - y_n|^2$.

2. Hacia atrás (backward): $(y_{n+1} - y_n, y_n) = \frac{1}{2}(|y_{n+1}|^2 - |y_n|^2) - \frac{1}{2}|y_{n+1} - y_n|^2$.

3. Centrada en el Punto Medio:

$$\left(y_{n+1} - y_n, \frac{y_{n+1} + y_n}{2}\right) = \frac{1}{2}(|y_{n+1}|^2 - |y_n|^2)$$

Nota manuscrita del PDF (Página 19): "El punto medio implícito no introduce disipación de ningún tipo (es conservativo en norma)".

1. Si $(f(t, y), y) \le 0$: $|y_n|^2$ es no creciente. $|y_{n+1}|^2 \le |y_n|^2$ para todo $n$. Además $\lim_{n \to \infty} |y_n| = M(h) \ge 0$.

2. Si $(f(t, y) - f(t, z), y - z) \le -a(t)|y - z|^2$:

$$|y_n - z_n|^2 \le |y_0 - z_0|^2 \exp\left(-\frac{1}{K}\sum_{m=0}^{n-1} h_m 2 a(t_{m+1})\right)$$

3. Estabilidad frente a errores de redondeo $\delta_n$:

$$|s_n(h)|^2 \le |s_0|^2 \exp\left(-\frac{t_n - t_0}{1 + \alpha h}\right) + \frac{1}{\alpha}\sum_{m=0}^{n-1} \exp\left(-\frac{\alpha(t_n - t_{m+1})}{1 + \alpha h}\right) h_m |\delta_m|^2$$

Definición 5: $y' = f(y) \in \mathbb{R}^M$ es un modelo gradiente si $f(y) = -\nabla F(y)$ con $F(y)$ acotada inferiormente y coerciva.

Teorema 8: Satisface la ley de energía continua exacta:

$$\frac{d}{dt} F(\varphi(t)) + |\varphi'(t)|^2 = 0$$

Por tanto, $F(y)$ es estrictamente decreciente sobre las órbitas (salvo en equilibrios). $\lim_{t \to +\infty} \nabla F(\varphi(t)) = 0$ y $\lim_{t \to +\infty} \varphi'(t) = 0$.

Un esquema de un paso para $y' + \nabla F(y) = 0$ es estable en energía si satisface la desigualdad:

$$\frac{F(y_{n+1}) - F(y_n)}{h_n} + \left|\frac{y_{n+1} - y_n}{h_n}\right|^2 \le 0, \quad \forall n \ge 0 \quad (10)$$

Excepto en equilibrios discretos, $F(y)$ decrece estrictamente en órbitas. Además, sumando $h_n \times (10)$, la serie $\sum_n h_n |\frac{y_{n+1}-y_n}{h_n}|^2$ converge, luego $|y_{n+1} - y_n|^2 / h_n \to 0$ y:

$$\lim_{n \to +\infty} (y_{n+1} - y_n) = 0, \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{y_{n+1} - y_n}{h_n} = 0$$

Sea $y' + \nabla F(y) = 0$ con descomposición $F(y) = F_c(y) + F_e(y)$, donde $F_c$ es convexa ($D^2 F_c \ge 0$) y $F_e$ es cóncava ($D^2 F_e \le 0$).

El esquema Convex Splitting (Implícito en la parte convexa, Explícito en la cóncava):

$$\delta y_{n+1} + \nabla F_c(y_{n+1}) + \nabla F_e(y_n) = 0 \quad (12)$$

es incondicionalmente estable en energía para todo paso $h_n > 0$.

Buena colocación global: Existe una única solución global $y_{n+1} \in \mathbb{R}^M$, que es el mínimo del funcional estrictamente convexo:

$$J(y) = \frac{1}{2h_n}|y|^2 + F_c(y) + \left(\nabla F_e(y_n) - \frac{1}{h_n}y_n, y\right)$$

Convergencia de Newton: El método de Newton converge localmente porque $I_d + h_n D^2 F_c(y_{n+1})$ es siempre regular para todo $h_n > 0$ (al ser $D^2 F_c \ge 0$).

El esquema de la secante (orden 2) $\delta y_{n+1} + \frac{F(y_{n+1}) - F(y_n)}{y_{n+1} - y_n} = 0$ satisface la igualdad exacta de energía discreta:

$$\delta(F(y_{n+1})) + |\delta y_{n+1}|^2 = 0$$

Implementación desacoplada multidimensional (Páginas 28-30):

$$y_{n+1}^i - y_n^i + h_n F_{pi}(y_{n+1}^i) = 0, \quad i = 1, \dots, M$$ $$F_{p1}(s) = \frac{F(s, y_n^2, \dots, y_n^M) - F(y_n)}{s - y_n^1} \quad \text{si } s \neq y_n^1, \quad \partial_1 F(y_n) \quad \text{si } s = y_n^1$$

Newton converge si $1 + h (F_{pi})'(y_{n+1}^i) \neq 0, \forall i$.

Satisface la conservación exacta de energía: $\frac{d}{dt}(F(v(t)) + G(u(t))) = 0$.

Ejemplo del péndulo: $u' = v, v' = -\sin(u)$, donde $F(v) = v^2/2$ (energía cinética) y $G(u) = -\cos(u)$ (potencial).

Esquema de la Secante:

$$\delta u_{n+1} = \frac{F(v_{n+1}) - F(v_n)}{v_{n+1} - v_n} = F_p(v_{n+1}), \quad \delta v_{n+1} = -\frac{G(u_{n+1}) - G(u_n)}{u_{n+1} - u_n} = -G_p(u_{n+1})$$

Conserva exactamente la energía discreta: $\delta(F(v_{n+1}) + G(u_{n+1})) = 0$.

Euler Implícito: $\delta u_{n+1} = F'(v_{n+1}), \delta v_{n+1} = -G'(u_{n+1})$ introduce disipación numérica si $F, G$ son convexas, o fuente numérica si son cóncavas.

Ley de energía continua: $\frac{d}{dt}(F(v(t)) + G(u(t))) = u G'(u) f(v) - v F'(v) g(u) = 0$ si $u G'(u) = g(u)$ y $v F'(v) = f(v)$.

Ejemplo presa-depredador: $u' = u(1-v), v' = -v(1-u)$.

Esquema de la secante: $\delta u_{n+1} = u_n v_n F_p(v_{n+1})$, $\delta v_{n+1} = -u_n v_n G_p(u_{n+1})$ conserva la energía exacta $\delta(F(v_{n+1}) + G(u_{n+1})) = 0$.

Con $f(y), g(y) \ge 0$ para todo $y \ge 0$ en $\mathbb{R}^M$. Si $y_0 > 0 \implies \varphi(t) > 0$ para todo $t > 0$.

Esquema lineal Implícito-Explícito desacoplado:

$$\delta y_{n+1} = -(y_{n+1}) .* f(y_n) + g(y_n) \iff y_{n+1}^i = \frac{y_n^i + h_n g_i(y_n)}{1 + h_n f_i(y_n)}$$

Existencia y unicidad global: Si $y_n > 0$, entonces $\exists! y_{n+1} > 0$ incondicionalmente para todo paso $h_n > 0$.

Variante Gauss-Seidel: Actualiza las componentes ya calculadas en las siguientes ecuaciones.

$$\begin{cases} (Ly)(x) \equiv -y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x), \quad x \in [a, b] \\ y(a) = \alpha, \quad y(b) = \beta \end{cases} \quad (13)$$

Datos: $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $p, q, f \in C[a, b]$.

O bien existe una única solución de (13) (para cualquier dato $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ y $f \in C[a, b]$),

o bien el problema homogéneo correspondiente:

$$\begin{cases} Ly = 0, \quad x \in [a, b] \\ y(a) = 0, \quad y(b) = 0 \end{cases} \quad (14)$$

admite solución no trivial $\psi \neq 0$.

Sean $\varphi_1$ y $\varphi_2$ soluciones de los dos problemas de valor inicial (PVI):

$$L\varphi_1 = f, \quad \varphi_1(a) = \alpha, \quad \varphi_1'(a) = 0$$ $$L\varphi_2 = 0, \quad \varphi_2(a) = 0, \quad \varphi_2'(a) = 1$$

Si $\varphi_2(b) = 0 \implies$ existe solución no trivial de (14).

Si $\varphi_2(b) \neq 0 \implies \varphi(x) = \varphi_1(x) + s \varphi_2(x)$ con:

$$s = \frac{\beta - \varphi_1(b)}{\varphi_2(b)}$$

es la solución única de (13). El cálculo puede ser inestable si $\varphi_2(b) \approx 0$ o si el error al calcular numéricamente $\varphi_1, \varphi_2$ crece con el tiempo.

Asumiendo $q(x) \ge 0$ en $[a, b]$:

1. Si $L\varphi \le 0$ en $(a, b)$: entonces $\max_{[a, b]} \varphi \le \max\{\varphi(a), \varphi(b), 0\}$.

2. Si $L\varphi \ge 0$ en $(a, b)$: entonces $\min_{[a, b]} \varphi \ge \min\{\varphi(a), \varphi(b), 0\}$.

Si $q \ge 0$ en $[a, b]$, existe una única solución de (13).

Demostración: Si $\psi$ es solución homogénea de (14), por el Principio del Máximo $\max \psi \le 0$ y $\min \psi \ge 0 \implies \psi \equiv 0$.

Contraejemplo de no unicidad si $q < 0$: $\lambda_n = -n^2$ y $\psi_n = C \sin(nx)$ cumplen $-\psi_n'' + \lambda_n \psi_n = 0$ con $\psi_n(0) = 0 = \psi_n(\pi)$.

Si $F \in C^4[x-h, x+h]$:

$$1. \quad F''(x) = \frac{F(x+h) - 2F(x) + F(x-h)}{h^2} - \frac{h^2}{4!}(F^{(4)}(\xi_+) + F^{(4)}(\xi_-))$$ $$2. \quad F'(x) = \frac{F(x+h) - F(x-h)}{2h} - \frac{h^2}{12}(F^{(3)}(\eta_+) + F^{(3)}(\eta_-))$$

Malla uniforme $x_n = a + nh, h = (b-a)/N$. Esquema:

$$L_h((y_n))_n \equiv -\frac{y_{n+1} - 2y_n + y_{n-1}}{h^2} + p_n \frac{y_{n+1} - y_{n-1}}{2h} + q_n y_n = f_n, \quad n=1,\dots,N-1$$

con $y_0 = \alpha, y_N = \beta$.

Forma matricial: $A Y = b$, donde $A = \text{tridiag}(l, c, r) \in \mathbb{R}^{(N-1)\times (N-1)}$:

$$l_{n-1} = -1 - \frac{p_n h}{2}, \quad c_n = 2 + q_n h^2, \quad r_n = -1 + \frac{p_n h}{2}$$ $$b_1 = h^2 f_1 + \alpha + \frac{p_1 \alpha h}{2}, \quad b_n = h^2 f_n, \quad b_{N-1} = h^2 f_{N-1} + \beta - \frac{p_{N-1}\beta h}{2}$$

Coste computacional: Requiere únicamente $O(5N)$ operaciones para resolver el sistema tridiagonal (frente a $O(N^3/3)$ de una matriz llena general).

Asumiendo $q(x) \ge 0$ en $[a, b]$ y la condición de malla:

$$\frac{h \|p\|_\infty}{2} < 1 \iff h < \frac{2}{\|p\|_\infty}$$

Se cumple:

$$\text{1. Si } L_h(y_n) \le 0 \implies \max_{0 \le n \le N} y_n \le \max\{y_0, y_N, 0\}$$ $$\text{2. Si } L_h(y_n) \ge 0 \implies \min_{0 \le n \le N} y_n \ge \min\{y_0, y_N, 0\}$$

Bajo las hipótesis del Teorema 13 ($q \ge 0$ y $h\|p\|_\infty / 2 < 1$), existe una única solución $(y_n)$ del esquema numérico.

Demostración: Si $(y_n)$ resuelve el sistema homogéneo $L_h(y_n) = 0$ con $y_0 = 0 = y_N$, por el Teorema 13 $\max y_n \le 0$ y $\min y_n \ge 0 \implies y_n = 0, \forall n$.

Por tanto, la matriz tridiagonal $A$ es estrictamente diagonal dominante y regular (invertible).

Error de consistencia: $\mathcal{E}(h) = L_h(\varphi(x_n)) - (f(x_n))_{n=1}^{N-1}$.

Teorema 14 (Consistencia): Si $\varphi \in C^4[a, b]$, entonces:

$$\|\mathcal{E}(h)\|_\infty \le K h^2 \quad \text{donde } K = K(\varphi^{(3)}, \varphi^{(4)}) > 0$$

Teorema 15 (Convergencia): Asumiendo $q(x) \ge q_{\min} > 0$ y $h\|p\|_\infty / 2 < 1$:

$$\|e(h)\|_\infty \le \frac{K}{q_{\min}} h^2$$

siempre que $|e_0|, |e_N| \le \frac{K}{q_{\min}}h^2$.

1. Malla no uniforme: Esquema centrado con pasos variables $h_n \neq h_{n-1}$ (Páginas 50-51).

2. Condiciones de contorno tipo Neumann $y'(a) = \alpha$:

• (a) Aproximación no centrada $O(h)$: $\frac{y_1 - y_0}{h} = \alpha$. Rebaja el orden global a 1.
• (b) Aproximación centrada $O(h^2)$ con nodo fantasma: $\frac{y_1 - y_{-1}}{2h} = \alpha \implies y_{-1} = y_1 - 2h\alpha$. Al sustituir en la ecuación del nodo 0 se preserva el orden 2 global: $$\left(\frac{2}{h^2} + q_0\right)y_0 - \frac{2}{h^2} y_1 = f_0 - \alpha\left(p_0 + \frac{2}{h}\right)$$

3. Formulación Autoadjunta (Elimina la restricción sobre el paso $h$):

$$-(r(x)y'(x))' + r(x)q(x)y(x) = r(x)f(x), \quad r(x) = \exp\left(-\int_a^x p(s)\,ds\right) > 0$$

Como $r(x) > 0$ en todo $[a, b]$, los coeficientes $r_{n+1/2} > 0$ y $r_{n-1/2} > 0$ son siempre estrictamente positivos sin necesidad de imponer la condición $h\|p\|_\infty / 2 \le 1$.

4. Ecuación no lineal: $-y'' = f(x, y, y')$.